본문 바로가기

728x90
반응형

정수론

PS를 위한 정수론 - (4) 이항 계수 (nCr mod P) 구하는 다양한 방법 이항 계수 $_{n}C_r$을 소수 $p$로 나눈 나머지를 빠르게 구하는 다양한 방법들을 알아보자. 기본적으로 특정 $n$과 $r$에 대해서 이항 계수 $_{n}C_r$을 구하는 시간은 $O(1)$이 되어야 할 때, 즉, 많은 쿼리가 들어와도 문제가 없는 경우를 고려한다. 지금부터 소개하는 방법들의 시간복잡도는 전처리하는데 필요한 시간을 의미한다. 너무 작은 $n$과 $r$에 대해서 직접 분자와 분모를 모두 곱하는 경우는 생략한다. 1. $O(n^2)$ www.acmicpc.net/problem/11051 11051번: 이항 계수 2 첫째 줄에 \(N\)과 \(K\)가 주어진다. (1 ≤ \(N\) ≤ 1,000, 0 ≤ \(K\) ≤ \(N\)) www.acmicpc.net 파스칼의 삼각형을 이용하는 ..
PS를 위한 정수론 - (3) 페르마의 소정리와 활용 (이항 계수, 밀러-라빈) [목차] 1. 페르마의 소정리 2. 오일러 정리 3. 활용 1) 이항 계수 nCr 빠르게 구하기 4. 활용 2) 밀러-라빈(Miller-Rabin) 소수 판별법 1. 페르마의 소정리 (Fermat's little theorem) 페르마의 소정리는 다음과 같다. "소수 $p$와 정수 $a$에 대해서 $a^p \equiv a \; (mod\;p)$" 만약 $a$와 $p$가 서로소이면 $a^{p-1} \equiv 1 \; (mod \;p)$ 를 만족한다. 짧지만 생각보다 PS에서 되게 많이 사용되므로 꼭 알아두는 것이 좋다. 증명 과정은 수학적 귀납법을 이용한다. (이 블로그를 참고했다) 먼저, $a$가 $p$ 이상이면, modular의 성질에 의해서 $p$로 나눈 나머지로 계산해도 동일하므로, $0 \leq..
PS를 위한 정수론 - (1) 에라토스테네스의 체 활용 기본적인 '에라토스테네스의 체' 개념을 아직 모른다면 wogud6792.tistory.com/46 글을 먼저 읽는 것을 추천한다. 크게 어렵지는 않다. 그렇다면 이제 이 에라토스테네스의 체를 활용하는 여러 가지 방법들을 알아보자. 1. 각 2부터 n까지의 자연수 k에 대해, "k가 갖는 가장 작은 소인수"를 계산하는 방법 이는 사실 매우 간단하다. 에라토스테네스의 체 원리를 생각해보면 현재 수가 아직 걸러지지 않았다면 소수이고, 현재 수의 배수들을 제거해나가는 방식이다. 이때, 제거되는 수는 합성수이고 제일 처음 제거될 때 이용되는 소수가 $k$가 갖는 가장 작은 소인수이다. int prime[1000001]; int main(void) { int N = 1000000; for (int i = 1; i