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알고리즘

병렬 이분 탐색(Parallel Binary Search) 주어진 문제의 답이 단조성을 갖는 경우에는 Parametric Search를 이용하여 해당 문제를 해결할 수 있다. Parametric Search에 대해서 이미 잘 알고 있다면 스크롤을 아래로 내리자. 예를 들어 "N명의 사람이 나이순으로 정렬되어 있을 때, 20세 이상이면서 나이가 가장 작은 사람의 나이를 구하시오"와 같은 문제가 있다고 하자. 앞에서부터 다 확인한다면 O(N)의 시간이 걸리게 되지만, Parametric Search를 이용하면 O(logN)만에 해결할 수 있다. 먼저, 답이 될 수 있는 범위의 중간지점을 확인한다. 19는 20세 미만이므로 답이 될 수 없다. 그러면 현재 위치보다 왼쪽에 있는 나이들은 당연히 19 이하이기 때문에 답이 될 수 없다. 따라서 왼쪽은 더 이상 볼 필요가 ..
PS를 위한 정수론 - (4) 이항 계수 (nCr mod P) 구하는 다양한 방법 이항 계수 $_{n}C_r$을 소수 $p$로 나눈 나머지를 빠르게 구하는 다양한 방법들을 알아보자. 기본적으로 특정 $n$과 $r$에 대해서 이항 계수 $_{n}C_r$을 구하는 시간은 $O(1)$이 되어야 할 때, 즉, 많은 쿼리가 들어와도 문제가 없는 경우를 고려한다. 지금부터 소개하는 방법들의 시간복잡도는 전처리하는데 필요한 시간을 의미한다. 너무 작은 $n$과 $r$에 대해서 직접 분자와 분모를 모두 곱하는 경우는 생략한다. 1. $O(n^2)$ www.acmicpc.net/problem/11051 11051번: 이항 계수 2 첫째 줄에 \(N\)과 \(K\)가 주어진다. (1 ≤ \(N\) ≤ 1,000, 0 ≤ \(K\) ≤ \(N\)) www.acmicpc.net 파스칼의 삼각형을 이용하는 ..
PS를 위한 정수론 - (3) 페르마의 소정리와 활용 (이항 계수, 밀러-라빈) [목차] 1. 페르마의 소정리 2. 오일러 정리 3. 활용 1) 이항 계수 nCr 빠르게 구하기 4. 활용 2) 밀러-라빈(Miller-Rabin) 소수 판별법 1. 페르마의 소정리 (Fermat's little theorem) 페르마의 소정리는 다음과 같다. "소수 $p$와 정수 $a$에 대해서 $a^p \equiv a \; (mod\;p)$" 만약 $a$와 $p$가 서로소이면 $a^{p-1} \equiv 1 \; (mod \;p)$ 를 만족한다. 짧지만 생각보다 PS에서 되게 많이 사용되므로 꼭 알아두는 것이 좋다. 증명 과정은 수학적 귀납법을 이용한다. (이 블로그를 참고했다) 먼저, $a$가 $p$ 이상이면, modular의 성질에 의해서 $p$로 나눈 나머지로 계산해도 동일하므로, $0 \leq..
PS를 위한 정수론 - (2) 유클리드, 확장 유클리드 호제법 [목차] 1. 유클리드 호제법 2. 확장 유클리드 호제법 3. 모듈러(modular) 연산에서의 곱셈의 역원 4. 예시 문제 1. 유클리드 호제법 유클리드 호제법은 정수론을 조금이라도 공부했다면, 혹은 공부하지 않았더라도 충분히 들어봤을 것이다. 유클리드 호제법은 자연수 $a$, $b$ 가 주어졌을 때, $gcd(a, b)$ 즉, $a$와 $b$의 최대 공약수를 구하는 방법이다. $a$를 $b$로 나눈 몫을 $q$라고 하고, 나머지를 $r$이라고 하면 $a = bq + r$ 로 나타난다. 이때, $gcd(a, b) = gcd(b, r)$을 만족한다. 이유는 $gcd(a, b) = g$라고 하면, $g|a$, $g|b$ 를 만족하게 되고, $r = a - bq$이므로 $g|(a - bq) = r$ 을 만족..
PS를 위한 정수론 - (1) 에라토스테네스의 체 활용 기본적인 '에라토스테네스의 체' 개념을 아직 모른다면 wogud6792.tistory.com/46 글을 먼저 읽는 것을 추천한다. 크게 어렵지는 않다. 그렇다면 이제 이 에라토스테네스의 체를 활용하는 여러 가지 방법들을 알아보자. 1. 각 2부터 n까지의 자연수 k에 대해, "k가 갖는 가장 작은 소인수"를 계산하는 방법 이는 사실 매우 간단하다. 에라토스테네스의 체 원리를 생각해보면 현재 수가 아직 걸러지지 않았다면 소수이고, 현재 수의 배수들을 제거해나가는 방식이다. 이때, 제거되는 수는 합성수이고 제일 처음 제거될 때 이용되는 소수가 $k$가 갖는 가장 작은 소인수이다. int prime[1000001]; int main(void) { int N = 1000000; for (int i = 1; i
[알고리즘] Lazy Propagation (Segment / Fenwick Tree) [목차] 1. Lazy Propagation이란? 2. Lazy Propagation with Segment Tree 3. Lazy Propagation with Fenwick Tree 4. Lazy Propagation 예시 문제 1. Lazy Propagation이란? 혹시 세그먼트 트리(Segment Tree)와 펜윅 트리(Fenwick Tree)에 대해서 잘 모른다면 이 자료구조들에 대해서 학습한 후, 이 글을 보는 것을 권장한다. 세그먼트 트리나 펜윅 트리는 원소의 update가 있는 경우에 구간합을 빠르게 구해주기 위해서 사용한다. 한 원소의 update는 O(logN)만큼의 시간이 걸리고, 구간합 또한 O(logN)만큼의 시간이 걸리기 때문에 Q를 쿼리의 개수라고 하면 보통 O(QlogN) ..
[자료구조] 트라이(Trie) 자료구조 [목차] 1. 트라이(Trie) 자료구조란? 2. 트라이(Trie)의 작동 원리 3. 트라이(Trie) 자료구조의 장/단점 4. 트라이(Trie) 자료구조의 구현 5. 트라이(Trie) 예제 문제 1. 트라이(Trie) 자료구조란? 트라이(Trie)는 문자열의 집합을 표현하는 '트리 자료구조'이다. 원하는 원소를 찾기 위해 자주 이용되는 이진 검색 트리 (STL set, map) 등에서는 원소를 찾는데 O(logN)의 시간이 걸리게 된다. 하지만, 문자열의 경우 두 문자열을 비교하기 위해서는 문자열의 길이만큼의 시간이 걸리기 때문에 원하는 문자열을 찾기 위해서는 O(MlogN)의 시간이 걸리게 된다. 따라서 여러 번 이 작업을 수행한다면 시간이 오래 걸릴 것이다. 이 단점을 해결하기 위한 문자열 특화 자..
[DFS] 그래프 간선의 분류 / 사이클(Cycle) 찾기 1. 깊이 우선 탐색(DFS)과 그래프 간선의 분류 어떤 방향 그래프를 깊이 우선 탐색(DFS)했을 때, 탐색이 따라간 간선들을 모으면 트리 형태를 가진다. 이때, 생성된 트리를 DFS 스패닝 트리 (DFS Spanning Tree)라고 부른다. DFS 스패닝 트리를 구성하고 나면 기존 그래프에서의 간선들을 네 종류로 나눌 수 있다. 1. 트리 간선 (Tree Edge) - DFS 스패닝 트리에 포함된 간선 2. 순방향 간선 (Forward Edge) - DFS 스패닝 트리의 선조(ancestor)에서 자손(descendant)으로 가는 간선이면서, 트리에 포함되지 않은 간선 3. 역방향 간선 (Back Edge) - DFS 스패닝 트리의 자손에서 선조로 가는 간선이면서, 트리에 포함되지 않은 간선 4...